4.3 向量组的线性相关性

由若干个同维数的向量组成的集合称为向量组. 两个向量之间最简单的关系是成比例, 即存在一个数 $k$ ,使

$$\alpha =k\beta \text{.}$$

在多个向量之间, 上述关系表现为线性组合.

定义 3.1. 线性组合 线性表示

定义 3.1. 线性组合 线性表示

对向量组 $\alpha ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$, 若存在一组数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$, 使

$$\alpha =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$$

成立, 则称 $\alpha$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合, 或者说 $\alpha$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表示 (线性表出).

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显然,任意一个 $n$ 维向量 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 都是向量组

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_1& =\left(1,0,\cdots ,0\right),\\ {\epsilon }_2& =\left(0,1,\cdots ,0\right),\\ & ⋮\\ {\epsilon }_n& =\left(0,0,\cdots ,1\right).\end{array}$$

的一个线性组合, 这是因为 $\alpha =a_1{\epsilon }_1+a_2{\epsilon }_2+\cdots +a_n{\epsilon }_n.$

向量 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 称为 $n$ 维单位向量.

零向量是任一向量组的线性组合.

例题 3.1

由例题 3.1 可知, 线性表示的问题可以归结为求解线性方程组的问题, 反之亦然.

定义 3.2. 向量组之间线性表出

定义 3.2. 向量组之间线性表出

若向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 中每个向量 ${\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,t\right)$ 都可以由向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表出, 则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 可以由向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表出.

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由定义易知, 每个向量组都可以由它自身线性表出; 而且,

• 若
  • 向量组(I): ${\alpha }_1$ , ${\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 可由向量组 (II): ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表出,
  • 向量组 (II): ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots$ , ${\beta }_s$ 可由向量组 (III): ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_p$ 线性表出,
• 则向量组 (I): ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 可由向量组 (III): ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_p$ 线性表出.

下面我们对此作出证明: 设

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_i& =\sum _{j=1}^s{k}_{ij}{\beta }_j,i=1,2,\cdots ,t,\\ {\beta }_j& =\sum _{m=1}^p{\ell }_{jm}{\gamma }_m,j=1,2,\cdots ,s.\end{array}$$

则有

$${\alpha }_i=\sum _{j=1}^s{k}_{ij}\sum _{m=1}^p{\ell }_{jm}{\gamma }_m=\sum _{m=1}^p\sum _{j=1}^s{k}_{ij}{\ell }_{jm}{\gamma }_m,i=1,2,\cdots ,t.$$

这表明,向量组 (I): ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 中的每一个向量可由向量组 (III): ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots$ , ${\gamma }_p$ 线性表出,结论成立.

定义 3.3. 线性相关等价关系

定义 3.3. 线性相关等价关系

若两个向量组可以互相线性表出, 则称它们等价. 向量组的等价有以下性质:

1. 反身性: 每个向量组与自身等价;
2. 对称性: 若向量组 (I) 与向量组 (II) 等价, 则向量组 (II) 与向量组 (I) 等价;
3. 传递性: 若向量组 (I) 与向量组 (II) 等价, 向量组 (II) 与向量组 (III) 等价, 则向量组 (I) 与向量组 (III) 等价.

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定义 3.4. 线性相关向量组

定义 3.4. 线性相关向量组

如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ ,使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0,$$

就称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关, 否则称为线性无关.

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对于线性无关, 如果

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$$

成立, 则 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 必须全为零.

定理 3.1 线性相关的充要条件

定理 3.2 线性相关的充分条件

上述定理说明若一个向量组线性无关, 则它的任意非空的部分向量组也线性无关.

定理 3.3 线性无关的必要条件