定理 3.2 线性相关的充分条件

定理 3.2. 线性相关的充分条件

如果一个向量组中一部分向量线性相关, 那么这个向量组就线性相关.

证明 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关,则可以证明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1},\cdots$ , ${\alpha }_{m+r}$ 亦线性相关. 设存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ ,使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0.$$

从而

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m+0{\alpha }_{m+1}+\cdots +0{\alpha }_{m+r}=0,$$

这里 $m+r$ 个系数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m,0,\cdots ,0$ 当然不全为零, 所以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$, ${\alpha }_{m+1},\cdots ,{\alpha }_{m+r}$ 线性相关.