定理 3.3 线性无关的必要条件

定理 3.3. 线性无关的必要条件

如果 $n$ 维向量组线性无关, 那么在每个向量上添加一个分量得到的 $n+1$ 维向量组也线性无关.

\begin{proof} 若 $n$ 维向量组 ${\alpha }_i=\left(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 线性无关,则我们证明 $n+1$ 维向量组 ${\beta }_i=\left(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in},a_{i,n+1}\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 亦线性无关. 设 $k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\cdots +k_m{\beta }_m=0$ ,其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 为 $m$ 个数,则可得方程组

$$\{\begin{array}{ll}{a}_{11}{k}_1+a_{21}{k}_2+\cdots +a_{m1}{k}_m& =0\\ a_{12}{k}_1+a_{22}{k}_2+\cdots +a_{m2}{k}_m& =0\\ & ⋮\\ a_{1n}{k}_1+a_{2n}{k}_2+\cdots +a_{mn}{k}_m& =0\\ a_{1,n+1}{k}_1+a_{2,n+1}{k}_2+\cdots +a_{m,n+1}{k}_m& =0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

若能证明方程组 (3.1) 只有零解, 则结论成立. 显然, 方程组 (3.1) 的解都是由前 $n$ 个方程构成的方程组的解, 而前 $n$ 个方程构成的方程组的等价形式为

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0.\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关, 得 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ , 即 (3.2) 只有零解. 故得 (3.1) 只有零解,因此 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$ 线性无关. \end{proof}

这个结论可以推广到添加多个分量的情形.