定理 5.1. 极大线性无关组是本质

定理 5.1. 极大线性无关组是本质

向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价.

\begin{proof} 设向量组为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\cdots ,{\alpha }_r$ ,不妨设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 是它的一个极大线性无关组. 因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\cdots ,{\alpha }_r$ 的一部分,当然可以被这个向量组线性表出. 现在考察 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\cdots ,{\alpha }_r$ 是否可以被 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出. 首先, ${\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,s\right)$ 显然可以被 ${\alpha }_1$ , ${\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出; 其次,考察 ${\alpha }_j\left(j=s+1,s+2,\cdots ,r\right)$ . 由极大线性无关组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 的极大性知向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,{\alpha }_j$ 线性相关,即存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s,\ell$ ,使得

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s+\ell {\alpha }_j=0.$$

若 $\ell =0$ ,则由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关得 $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$ ,矛盾. 因此 $\ell \ne 0$ ,从而有

$${\alpha }_j=-\frac{k_1}{\ell }{\alpha }_1-\frac{k_2}{\ell }{\alpha }_2-\cdots -\frac{k_s}{\ell }{\alpha }_s\left(j=s+1,\cdots ,r\right).$$

即证得 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\cdots ,{\alpha }_r$ 也可以被 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出,因此它们等价. \end{proof}