定理 5.2. 线性相关的充分条件

定理 5.2. 线性相关的充分条件

设向量组 (I): ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 和向量组 (II): ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 满足下列条件

1. 向量组 (I) 可由向量组 (II) 线性表出,
2. $r>s$ ,

则向量组 (I) 线性相关.

\begin{proof} 由条件 (1),每个 ${\alpha }_i$ 都可写成 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 的线性组合,因而有

$$\{\begin{array}{c}{\alpha }_1=a_{11}{\beta }_1+\cdots +a_{s1}{\beta }_s,\\ {\alpha }_2=a_{12}{\beta }_1+\cdots +a_{s2}{\beta }_s,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\alpha }_r=a_{1r}{\beta }_1+\cdots +a_{sr}{\beta }_s,\end{array}$$

其中 $a_{ij}\in F$ . 令

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1r}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sr}\end{array}\right)$$

则上面的一组等式可以直观地表示成

$$\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\right)=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s\right)\mathbf{A}.$$

由于齐次线性方程组

$$\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$

的未知数个数 $r$ 大于方程个数 $s$ , 由本章第 1 节推论 1.1 知, 此齐次线性方程组有非零解. 设 $\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r\right)$ 为非零解, 则对这些不全为零的元素 $k_1,k_2,\cdots ,k_r$ 有

$$\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$

于是

$$\begin{array}{rl}& k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r\\ & =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\right)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_r\end{array}\right)\\ & =\left({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s\right)\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_r\end{array}\right)\\ & =\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\\ & =0.\end{array}$$

所以,向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性相关. \end{proof}