定理 6.2. 齐次方程解集的结构

定理 6.2. 齐次方程解集的结构

若齐次线性方程组 (6.4) 有非零解, 则它一定有基础解系, 并且基础解系所含解的个数等于 $n-r\left(\mathbf{A}\right)$, 这里 $r\left(\mathbf{A}\right)$ 为系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩.

证明

设 $r\left(\mathbf{A}\right)=r$ , 不妨设 $\mathbf{A}$ 左上角的 $r$ 阶子式不等于零, 于是方程组 (6.4) 可写成等价方程组

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1r}{x}_r=-a_{1,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{1n}{x}_n,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2r}{x}_r=-a_{2,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{2n}{x}_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rr}{x}_r=-a_{r,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{rn}{x}_n.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

若 $r=n$ ,则方程组 (6.6) 没有自由未知量,方程右端全为零,这时方程组只有零解, 故没有基础解系.

设 $r<n$ ,给定方程组 (6.6) 右端自由未知量 $x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n$ 的一组值, 由于其左端系数行列式不等于零,根据克拉默法则便可唯一确定出未知量 $x_1$ , $x_2,\cdots ,x_r$ 的一组值. 将这两部分放在一起,便是齐次线性方程组 (6.4) 的一个解. 依此法,依次取 $n-r$ 组给定的值,即 $\left(x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n\right)$ 依次取

$$\left(1,0,\cdots ,0\right),\left(0,1,\cdots ,0\right),\cdots ,\left(0,0,\cdots ,1\right),\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

而求得相应的 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_r\right)$ 的值依次为

$$\left(c_{11},c_{12},\cdots ,c_{1r}\right),\left(c_{21},c_{22},\cdots ,c_{2r}\right),\cdots ,\left(c_{n-r,1},c_{n-r,2},\cdots ,c_{n-r,r}\right),$$

从而得到齐次线性方程组 (6.4) 的 $n-r$ 个解

$$\{\begin{array}{ll}{\eta }_1& =\left(c_{11},c_{12},\cdots ,c_{1r},1,0,\cdots ,0\right),\\ {\eta }_2& =\left(c_{21},c_{22},\cdots ,c_{2r},0,1,\cdots ,0\right),\\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\eta }_{n-r}& =\left(c_{n-r,1},c_{n-r,2},\cdots ,c_{n-r,r},0,0,\cdots ,1\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

我们可以证明 (6.8) 就是齐次线性方程组 (6.4) 的一个基础解系. 显然, 它是线性无关组. 下面我们证明齐次线性方程组 (6.4) 的任意一个解都可以由它线性表出.

设

$$\eta =\left(c_1,c_2,\cdots ,c_r,c_{r+1},c_{r+2},\cdots ,c_n\right)\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

是齐次线性方程组 (6.4) 的一个解. 由于 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{n-r}$ 是齐次线性方程组 (6.4) 的解, 所以线性组合

$$c_{r+1}{\eta }_1+c_{r+2}{\eta }_2+\cdots +c_n{\eta }_{n-r}\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

也是齐次线性方程组 (6.4) 的一个解.

由于向量 (6.9) 和 (6.10) 中的后 $n-r$ 个分量对应相同, 均为 $c_{r+1},c_{r+2},\cdots ,c_n$ , 即这两个解的自由未知量有相同的值, 所以这两个解相等, 即

$$\eta =c_{r+1}{\eta }_1+c_{r+2}{\eta }_2+\cdots +c_n{\eta }_{n-r}$$

综上所述, (6.8) 是齐次线性方程组 (6.4) 的一个基础解系, 且基础解系所含向量个数等于 $n-r\left(\mathbf{A}\right)$.