性质 1.1 解集在初等变换下不变

性质 1.1.

线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解的方程组.

证明显然, 只需讨论对原方程组 (1.1) 进行一次初等变换得到新方程组的情况.

若进行的是第 1 种初等变换, 那么新方程组与 (1.1) 仅仅是方程的编号不同, (1.1) 显然与新方程组同解.

若进行的是第 3 种初等变换,则新方程组只有一个方程 (例如第 $j$ 个方程) 与 (1.1) 不同, 即它是

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} (a_{j 1} + d a_{i 1}) x_{1} + \dots + (a_{jn} + d a_{in}) x_{n} a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{1}, ⋮ = b_{j} + d b_{i}, ⋮ = b_{m} . (1.2)

其中 $d$ 为任意实数. 设 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 为原方程组的解,则有

a_{i 1} c_{1} + a_{i 2} c_{2} + \dots + a_{in} c_{n} a_{j 1} c_{1} + a_{j 2} c_{2} + \dots + a_{jn} c_{n} = b_{i}, = b_{j} .

从而有

= = (a_{j 1} + d a_{i 1}) c_{1} + \dots + (a_{jn} + d a_{in}) c_{n} (a_{j 1} c_{1} + \dots + a_{jn} c_{n}) + d (a_{i 1} c_{1} + \dots + a_{in} c_{n}) b_{j} + d b_{i} .

即 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 满足新方程组 (1.2) 的第 $j$ 个方程. $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 当然满足其余的方程, 故 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 为新方程组 (1.2) 的解. 类似可证作第 3 种变换后得到的新方程组 (1.2) 的解是 (1.1) 的解, 因此二者同解. 同理, 作第 2 种变换后得到的新方程组与原方程组同解.

Youliang Zhong

性质 1.1 解集在初等变换下不变

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