推论 5.2

推论 5.2.

任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关,从而当 $m>n$ 时,任意 $m$ 个 $n$ 维向量一定线性相关.

\begin{proof} 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$ 为任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量. 因为每个 $n$ 维向量 ${\alpha }_i$ 都可由 $n$ 维单位向量 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 线性表出,故向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$ 可由向量组 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 线性表出,且 $n+1>n$ ,由定理 5.2 知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$ 线性相关. \end{proof}