推论 5.3

推论 5.3.

一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.

\begin{proof} 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 是同一个向量组的两个极大线性无关组,由定理 5.1 知它们都与原向量组等价,故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 等价. 首先,由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 可以被 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表出及 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots$ , ${\alpha }_r$ 线性无关,应用推论 5.1 知, $r\le s$ . 同理, $s\le r$ . 故 $r=s$ . \end{proof}