例题 2.2.

Question

已知矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}0& 2& 1\\ -4& 0& 3\\ -2& -3& 0\end{array}\right)$$

在复数范围内, 求使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 为对角矩阵的可逆矩阵 $\mathbf{P}$.

解

解 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为 $\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=\lambda \left({\lambda }^2+19\right)$,故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $0,\sqrt{19}\mathrm{i},-\sqrt{19}\mathrm{i}$.

将 $\lambda =0$ 和 $\lambda =\pm \sqrt{19}\mathrm{i}$ 分别代入齐次线性方程组 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中,可求得:

属于 0 的全部特征向量是

$$k_1\left(\begin{array}{r}3\\ -2\\ 4\end{array}\right)(k_1\text{为任意非零常数})$$

属于 $\sqrt{19}\mathrm{i}$ 的全部特征向量是

$$k_2\left(\begin{array}{c}5\\ 2\sqrt{19}\mathrm{i}+3\\ \sqrt{19}\mathrm{i}-6\end{array}\right)(k_2\text{为任意非零常数})\text{;}$$

属于 $-\sqrt{19}\mathrm{i}$ 的全部特征向量是

$$k_3\left(\begin{array}{c}5\\ -2\sqrt{19}\mathrm{i}+3\\ -\sqrt{19}\mathrm{i}-6\end{array}\right)(k_3\text{为任意非零常数})\text{.}$$

取 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& 5\\ -2& 2\sqrt{19}\mathrm{i}+3& -2\sqrt{19}\mathrm{i}+3\\ 4& \sqrt{19}\mathrm{i}-6& -\sqrt{19}\mathrm{i}-6\end{array}\right)$, 则

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left(0,\sqrt{19}\mathrm{i},-\sqrt{19}\mathrm{i}\right).$$