5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件

2.1 矩阵与矩阵的运算 中讲述了矩阵的乘法.

例子 快速计算矩阵的幂

下面给出矩阵相似的定义.

定义 2.1. 矩阵相似等价

定义 2.1. 矩阵相似等价

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵,若存在可逆矩阵 $P$ , 使得

$$B=P^{-1}AP$$

则称 $\mathbf{A}$ 相似于 $\mathbf{B}$ ,记为 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ .

验证相似为等价关系

相似关系是矩阵之间的一种关系, 有如下三个性质.

(1) 反身性: $\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$ . 在定义中取 $\mathbf{P}=\mathbf{E}$ ,即有 $\mathbf{A}={\mathbf{E}}^{-1}\mathbf{AE}$ 成立.

(2) 对称性: 如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ ,那么 $\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$ . 如果 $A\sim B$ ,那么存在可逆矩阵 $P$ ,使得 $B=P^{-1}AP$ . 设 $Q=P^{-1}$ ,则有 $A=PB{P}^{-1}=Q^{-1}BQ$ ,所以 $B\sim A$ 成立. 有了对称性质,我们可以称 $A,B$ 相似.

(3) 传递性: 如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B},\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$ ,那么 $\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$ . 由 $A\sim B,B\sim C$ 知,存在可逆矩阵 $P,Q$ ,使得 $B=P^{-1}AP,C=$ $Q^{-1}BQ$ . 这样,存在可逆矩阵 $PQ$ ,使得 $C=Q^{-1}\left(P^{-1}AP\right)Q={\left(PQ\right)}^{-1}A\left(PQ\right)$ , 于是 $A\sim C$ 成立.

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性质 2.1 (相似不变量)

是不是每一个矩阵都如同 例子 快速计算矩阵的幂 提到的矩阵 $\left(\begin{array}{rr}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$ 一样和某一个对角矩阵相似呢? 有了相似矩阵的定义及性质我们就可以研究矩阵可对角化的条件了.

为方便起见,我们常将对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ 记作 $\mathrm{diag}\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$, 其中 $a_1,a_2,\cdots$, $a_n$ 是 $\mathbf{\Lambda }$ 的主对角元素. 有时也可以将其直接简记为 $\mathbf{\Lambda }$.

定义 2.2. 可对角化

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵. 若存在一个可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 和一个对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ , 使得

$$P^{-1}AP=\Lambda$$

则称 $\mathbf{A}$ 是可以对角化的矩阵,简称可对角化,并称矩阵 $\mathbf{P}$ 对角化 $\mathbf{A}$ .

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定理 2.1. 可对角化的充要条件

可对角化的两个充分条件

• 推论 2.1
• 推论 2.2

值得一提的是, 上述两个推论的条件都充分而不必要. 反例很容易找到,

Example

单位矩阵 $\mathbf{E}=\mathrm{diag}\left(1,1,\cdots ,1\right)$,其特征多项式有 $n$ 重根,且只有唯一的特征值 $\lambda =1$,但 ${\mathbf{E}}_n$ 本身已对角化.

利用上一节特征值、特征向量的求法及上面的定理和推论即可判断一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 是不是可以对角化. 我们只需将求得的线性无关的特征向量合并起来组成一个向量组,

• 如果向量组中向量的个数为 $n$, 那么 $\mathbf{A}$ 可对角化;
• 如果向量组中向量的个数小于 $n$, 那么 $\mathbf{A}$ 不可对角化.

当 $\mathbf{A}$ 可对角化时, 将所求得的 $n$ 个线性无关的特征向量作为列向量构成矩阵 $P$, 则 $P$ 就是一个可以对角化 $A$ 的可逆矩阵, 满足 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right).$

Example

以上节的 例题 1.1 为例, 矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrr}-3& 4& 0\\ -1& 1& 0\\ 7& 5& 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $1,-1$. 属于 1 的全部特征向量是

$$k_1\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)(k_1\text{为任意非零常数})$$

属于 -1 的全部特征向量是

$$k_2\left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ -19\end{array}\right)(k_2\text{为任意非零常数})\text{.}$$

由于线性无关的特征向量的个数小于 3, 故 $\mathbf{A}$ 不可对角化.

例题 2.1.

例题 2.2.