例题 3.3.

Question

设
$A = 122212221$
求正交矩阵 $T$ ,使 $T^{- 1} AT$ 为对角矩阵.

解

例题 2.1. 中, 对于特征值 -1, 已求得 $(- E - A) X = 0$ 的一个基础解系为

α_{1} = 01 - 1, α_{2} = 10 - 1

将 $α_{1}, α_{2}$ 正交化,令

β_{1} = α_{1}

β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} = 10 - 1 - \frac{1}{2} 01 - 1 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} .

将 $β_{1}, β_{2}$ 分别单位化,有

η_{1} = 0 \frac{2}{2} - \frac{2}{2}, η_{2} = \frac{6}{3} - \frac{6}{6} - \frac{6}{6} .

对于特征值 5, 求得一个基础解系为

α_{3} = 111

将 $η_{3}$ 单位化,有

η_{3} = \frac{3}{3} \frac{3}{3} \frac{3}{3}

取

T = 0 \frac{2}{2} - \frac{2}{2} \frac{6}{3} - \frac{6}{6} - \frac{6}{6} \frac{3}{3} \frac{3}{3} \frac{3}{3}

则 $T$ 为正交矩阵,并且有

T^{- 1} AT = diag (- 1, - 1, 5)