5.3.4. 实对称矩阵的对角化

定理 3.4. (实对称矩阵的特征值为实数)

根据上面的定理, 实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_i$ 均为实数, 所以齐次线性方程组 $\left({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 为实系数方程组. 由于 $\left|{\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=0$, 故齐次线性方程组 $\left({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 必有实的基础解系, 因此对应的特征向量可以取实向量. 显然, 定理 3.4 的逆命题不成立.

定理 3.5. (实对称强化性质 1.4)

定理 3.6 (实对称矩阵总能对角化)

有了上面的分析, 下一步介绍 使实对称矩阵 A 对角化的正交矩阵的求法.

例题 2.1. 实际上就是一个关于实对称矩阵的例子.

例题 3.3.

例题 3.4.