定理 3.4. (实对称矩阵的特征值为实数)

定理 3.4.

实对称矩阵的特征值都是实数.

证明

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的任意一个特征值, $\alpha ={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}$ 是属于 $\lambda$ 的任一特征向量, 于是 $\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$. 两边取共轭得 $\overline{\mathbf{A}}\overline{\alpha }=\bar{\lambda }\overline{\alpha }$, 但 $\mathbf{A}$ 是实矩阵, $\overline{\mathbf{A}}=\mathbf{A}$,故 $\mathbf{A}\overline{\alpha }=\bar{\lambda }\overline{\alpha }$. 用 ${\alpha }^{\mathrm{T}}$ 左乘上式两端得到 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\overline{\alpha }=\bar{\lambda }{\alpha }^{\mathrm{T}}\overline{\alpha }$. 又因为 $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}},{\alpha }^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\overline{\alpha }$ 和 ${\overline{\alpha }}^{\mathrm{T}}\alpha$ 是数, 于是

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\overline{\alpha }& ={\left({\alpha }^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\overline{\alpha }\right)}^{\mathrm{T}}={\overline{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\alpha \\ & ={\overline{\alpha }}^{\mathrm{T}}\lambda \alpha \\ & =\lambda {\overline{\alpha }}^{\mathrm{T}}\alpha =\lambda {\left({\overline{\alpha }}^{\mathrm{T}}\alpha \right)}^{\mathrm{T}}=\lambda {\alpha }^{\mathrm{T}}\overline{\alpha }.\end{array}$$

于是 $\bar{\lambda }{\alpha }^{\mathrm{T}}\overline{\alpha }=\lambda {\alpha }^{\mathrm{T}}\overline{\alpha }$,故

$$\left(\lambda -\bar{\lambda }\right){\alpha }^{\mathrm{T}}\overline{\alpha }=0$$

又因 $\alpha$ 是非零向量, ${\alpha }^{\mathrm{T}}\bar{\alpha }=\sum _{i=1}^n{x}_i{\bar{x}}_i=\sum _{i=1}^n{\left|x_i\right|}^2\ne 0，$ 故 $\lambda =\bar{\lambda }$, 即 $\lambda$ 是一个实数.