使实对称矩阵 A 对角化的正交矩阵的求法

1. 求出
   • $\mathbf{A}$ 的全部特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_t$
   • 属于每一个 ${\lambda }_i\left(i=1,2,\cdots ,t\right)$ 的特征向量 ${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{i{s}_i}$ ;
2. 将属于 ${\lambda }_i\left(i=1,2,\cdots ,t\right)$ 的特征向量 ${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{i{s}_i}$ 正交化和单位化, 记为 ${\eta }_{i1},{\eta }_{i2},\cdots ,{\eta }_{i{s}_i}$, 它们仍然是属于 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量;
3. 由 定理 3.5. (实对称强化性质 1.4) 知, 将经过上一步处理所有特征向量合并之后的向量组仍然是正交的单位向量组, 且所含的向量总个数仍为 $n$, 以这 $n$ 个向量为列向量构成的矩阵 $\mathbf{T}$ 就是所求的正交矩阵.