任何矩阵经一次初等行变换后, 新矩阵的行向量组都可由原矩阵的行向量组线性表出.
实际上, 如果行变换是第 I 种类型的初等行变换, 则新矩阵的行向量就是原矩阵的行向量, 但改变了排列次序.
如果行变换是第 II 和 III 种类型的初等行变换, 那么新矩阵中除去一个行向量外都是原矩阵的行向量, 而改变了的那个行向量,
- 要么是原矩阵的一个行向量与数域 中一非零元素的数乘 (在第 II 种类型的初等行变换下),
- 要么是原矩阵的一个行向量加上另一个行向量的数量倍 (在第 III 种类型的初等行变换下).
于是上面的结论成立. 由此可知, 新矩阵的行向量组可以由原矩阵的行向量组线性表出.
由于初等变换可逆, 所以原矩阵的行向量组也可以由新矩阵的行向量组线性表出, 即知二者是等价的行向量组.