定理 5.3. 行秩=列秩=秩

定理 5.3. 行秩=列秩=秩

矩阵的行秩和列秩都等于矩阵的秩.

\begin{proof} 设矩阵 $r\left(\mathbf{A}\right)=r$ ,现证矩阵 $\mathbf{A}$ 的行秩也为 $r$ ,这样就证明行秩等于秩. 同理可证列秩也等于秩.

矩阵 $A$ 可经一系列初等行变换化为一个阶梯形矩阵 $B$, 即有矩阵序列

$$\mathbf{A}={\mathbf{A}}_0\to {\mathbf{A}}_1\to {\mathbf{A}}_2\to \cdots \to {\mathbf{A}}_s=\mathbf{B}$$

其中每个 ${\mathbf{A}}_{i+1}$ 由 ${\mathbf{A}}_i$ 经一次行变换得到, 而阶梯形矩阵 $\mathbf{B}$ 有 $r$ 个非零行. 已知, 任何矩阵经一次初等变换后其秩不变. 正因为如此,每个矩阵 ${\mathbf{A}}_i$ 的秩都是 $r$.

这里先证明一个结论: 初等变换保持向量组“线性等价”

故由 推论 5.4. 秩为等价不变量 知它们有相同的秩. 这就证明矩阵经一次初等行变换后, 行秩保持不变.

把上面得到的结果用到序列 $A=A_0\to A_1\to A_2\to \cdots \to A_s=B$ 上, 知 $A$ 和 $B$ 有相同的行秩. 显然, 阶梯形矩阵 $B$ 的 $r$ 个非零行 (看作向量) 正好构成行向量组的极大线性无关组. 这就证明 $\mathbf{B}$ 的行秩 $=r=r\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{A}$ 的行秩.

\end{proof}