定义 2.1. 矩阵相似等价

定义 2.1. 矩阵相似等价

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵,若存在可逆矩阵 $P$ , 使得

$$B=P^{-1}AP$$

则称 $\mathbf{A}$ 相似于 $\mathbf{B}$ ,记为 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ .

验证相似为等价关系

相似关系是矩阵之间的一种关系, 有如下三个性质.

(1) 反身性: $\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$ . 在定义中取 $\mathbf{P}=\mathbf{E}$ ,即有 $\mathbf{A}={\mathbf{E}}^{-1}\mathbf{AE}$ 成立.

(2) 对称性: 如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ ,那么 $\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$ . 如果 $A\sim B$ ,那么存在可逆矩阵 $P$ ,使得 $B=P^{-1}AP$ . 设 $Q=P^{-1}$ ,则有 $A=PB{P}^{-1}=Q^{-1}BQ$ ,所以 $B\sim A$ 成立. 有了对称性质,我们可以称 $A,B$ 相似.

(3) 传递性: 如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B},\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$ ,那么 $\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$ . 由 $A\sim B,B\sim C$ 知,存在可逆矩阵 $P,Q$ ,使得 $B=P^{-1}AP,C=$ $Q^{-1}BQ$ . 这样,存在可逆矩阵 $PQ$ ,使得 $C=Q^{-1}\left(P^{-1}AP\right)Q={\left(PQ\right)}^{-1}A\left(PQ\right)$ , 于是 $A\sim C$ 成立.