定理 2.1. 可对角化的充要条件

定理 2.1. 可对角化的充要条件

以下命题等价

• $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与一个对角矩阵相似, 即 $\mathbf{A}$ 可对角化的
• $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.

证明

充分性

设 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ,它们所对应的特征值分别为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ( ${\lambda }_i$ 不必各不相同), 于是有

$$\mathbf{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$$

以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为列向量构成一个矩阵 $\mathbf{P}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right).$ 由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots$ , ${\alpha }_n$ 线性无关知 $r\left(\mathbf{P}\right)=n$, $\left|\mathbf{P}\right|\ne 0$, 所以 $\mathbf{P}$ 可逆. 又

$$\begin{array}{rl}\mathbf{AP}& =\mathbf{A}\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\\ & =\left({\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,\cdots ,{\lambda }_n{\alpha }_n\right)\\ & =\mathbf{P}\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right).\end{array}$$

所以

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$$

即矩阵 $\mathbf{A}$ 与对角矩阵相似, $\mathbf{A}$ 可对角化.

必要性

设 $\mathbf{A}$ 可对角化, 即存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$$

即 $\mathbf{AP}=\mathbf{P}\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$. 令 $\mathbf{P}$ 的列向量分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ , 则

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{A}\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\\ & =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\\ & =\left({\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,\cdots ,{\lambda }_n{\alpha }_n\right).\end{array}$$

故

$$\mathbf{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$$

由 $\mathbf{P}$ 可逆知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 都不为零向量, 且线性无关. 由定义知, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots$ , ${\alpha }_n$ 是分别对应于 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 的特征向量.