定理 3.1. 正交必然线性无关

定理 3.1. 正交必然线性无关

内积空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中,正交向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 必线性无关.

证明

设有实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 使得 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$ 成立, 用 ${\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 对上式作内积得到

$$k_1\left({\alpha }_i,{\alpha }_1\right)+k_2\left({\alpha }_i,{\alpha }_2\right)+\cdots +k_i\left({\alpha }_i,{\alpha }_i\right)+\cdots +k_m\left({\alpha }_i,{\alpha }_m\right)=0.$$

因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 两两正交, 所以 $\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=0\left(i\ne j\right)$, 故 $k_i\left({\alpha }_i,{\alpha }_i\right)=0$, 因 ${\alpha }_i\ne 0$, 故 $k_i=0\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$. 这样 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关.