5.3.2. 正交向量组

定义 3.5. 正交向量组

一组由两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组.

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定理 3.1. 正交必然线性无关

由此定理可知,在 ${\mathbb{R}}^n$ 中 $n$ 个两两正交的非零向量一定线性无关, 从而是一组基.

定义 3.6. 正交基 标准正交基

在内积空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中,若 $n$ 个向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为正交向量组, 则它们构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基称为一组正交基.

若正交基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 中各 ${\alpha }_i$ 均为单位向量, 则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 称为标准正交基.

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于是, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为标准正交基当且仅当

$$\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

成立.

Example

在三维空间中, $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 就是一组标准正交基.

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中, ${\epsilon }_1=\left(1,0,0,\cdots ,0\right),{\epsilon }_2=\left(0,1,0,\cdots ,0\right),\cdots ,{\epsilon }_n=\left(0,0,\cdots ,0,1\right)$ 是一组标准正交基.

例题 3.1

此例题表明, 在标准正交基下, 向量的坐标容易依下式算出来, 即

$$\alpha =\left({\alpha }_1,\alpha \right){\alpha }_1+\left({\alpha }_2,\alpha \right){\alpha }_2+\cdots +\left({\alpha }_n,\alpha \right){\alpha }_n$$

而且向量的内积, 长度表达式变得简单.

性质 3.3.

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基, $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$ 在这组基下的坐标分别为 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 和 $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$, 则

1. $\left(\alpha ,\beta \right)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$ ;
2. ${\left|\alpha \right|}^2=\left(\alpha ,\alpha \right)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$.

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下面讨论如何从已知的一组基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 构造出一组标准正交基 ${\eta }_1$, ${\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$. 这个问题等价于下面的两个问题.

Quetion

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为内积空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基.

1. 求与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 等价的正交基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ ;
2. 求与正交基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 等价的标准正交基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$.

1. 问题 (1) 称为将 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 正交化;
2. 问题 (2) 称为将 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 单位化 (或标准化), 这只需要令

$${\eta }_1=\frac{{\beta }_1}{\left|{\beta }_1\right|},{\eta }_2=\frac{{\beta }_2}{\left|{\beta }_2\right|},\cdots ,{\eta }_n=\frac{{\beta }_n}{\left|{\beta }_n\right|}.$$

用下述定理 3.2, 即施密特 (Schmidt) 正交化方法可以回答问题 (1).

定理 3.2. 施密特 (Schmidt) 正交化方法

由定理 3.2 所述的公式可知, 由于 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 都是内积空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的基, 显然两者等价, 从而可以互相线性表出.

例题 3.2.