定理 3.2. 施密特 (Schmidt) 正交化方法

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为内积空间 $R^{n}$ 的一组基,令
$β_{1} β_{2} β_{n} = α_{1}, = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1}, = α_{n} - \frac{( α _{n} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1} - \frac{( α _{n} , β _{2} )}{( β _{2} , β _{2} )} β_{2} - \dots - \frac{( α _{n} , β _{n - 1} )}{( β _{n - 1} , β _{n - 1} )} β_{n - 1} .$
则 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 是内积空间 $R^{n}$ 的一组正交基.

证明

只需要证明 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 为两两正交的向量组即可.

我们用数学归纳法来证明这一点.

当 $n = 2$ 时,

(β_{1}, β_{2}) = (β_{1}, α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} β_{1}) = (β_{1}, α_{2}) - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{( β _{1} , β _{1} )} (β_{1}, β_{1}) = 0,

即 $β_{1}, β_{2}$ 两两正交.

归纳假设当 $n = k$ 时,结论成立. 当 $n = k + 1$ 时,有

β_{k + 1} = α_{k + 1} - s = 1 \sum k \frac{( α _{k + 1} , β _{s} )}{( β _{s} , β _{s} )} β_{s}

由归纳假设 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{k}$ 两两正交,因此对于 $i = 1, 2, \dots, k$ 有

(β_{i}, β_{k + 1}) = (β_{i}, α_{k + 1}) - s = 1 \sum k \frac{( α _{k + 1} , β _{s} )}{( β _{s} , β _{s} )} (β_{i}, β_{s}) = (β_{i}, α_{k + 1}) - (α_{k + 1}, β_{i}) = 0.

因此 $β_{k + 1}$ 与 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{k}$ 都正交, 即 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{k}, β_{k + 1}$ 两两正交, 即当 $n =$ $k + 1$ 时结论成立.

故由数学归纳法原理知, 对任意的 $n, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 两两正交.

Youliang Zhong

定理 3.2. 施密特 (Schmidt) 正交化方法

证明

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