定理 3.3. 正交矩阵由标准正交基构成

定理 3.3. 正交矩阵由标准正交基构成

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶实矩阵, 且 $\mathbf{A}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$, 则 $\mathbf{A}$ 是正交矩阵的充要条件是列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基.

证明

由于

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\\ {\alpha }_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\alpha }_n^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}{\alpha }_1& {\alpha }_1^{\mathrm{T}}{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_1^{\mathrm{T}}{\alpha }_n\\ {\alpha }_2^{\mathrm{T}}{\alpha }_1& {\alpha }_2^{\mathrm{T}}{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_2^{\mathrm{T}}{\alpha }_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\alpha }_n^{\mathrm{T}}{\alpha }_1& {\alpha }_n^{\mathrm{T}}{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n^{\mathrm{T}}{\alpha }_n\end{array}\right).$$

这里 ${\alpha }_i$ 为列向量, 由内积的定义易知 ${\alpha }_i^{\mathrm{T}}{\alpha }_j=\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)$, 则

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=\mathbf{E}\iff \left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)={\alpha }_i^{\mathrm{T}}{\alpha }_j=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

即 $\mathbf{A}$ 是正交矩阵的充要条件是列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基.