5.3.3. 正交矩阵

定义 3.7. 正交矩阵

若 $n$ 阶实矩阵 $\mathbf{A}$ 满足

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=\mathbf{E}$$

则称其为正交矩阵.

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性质 正交矩阵

$n$ 阶正交矩阵 $\mathbf{A}$ 有下列性质:

1. $\mathbf{A}$ 可逆,且 ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ ;
2. ${\mathbf{A}}^{-1},{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 也是正交矩阵;
3. $\left|\mathbf{A}\right|=\pm 1$ ;
4. 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.

证明作为练习.

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定理 3.3. 正交矩阵由标准正交基构成