性质 1.1. 特征值为转置不变量

性质 1.1. 特征值为转置不变量

$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与其转置 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 有相同的特征值.

\begin{proof} 因为 ${\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)}^{\mathrm{T}}=\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ ,又 $\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=\left|{\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)}^{\mathrm{T}}\right|=\left|\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right|$ . 因此, $\mathbf{A}$ 与 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 有相同的特征多项式,所以有相同的特征值. \end{proof}