5.1 矩阵的特征值与特征向量

在给出特征值和特征向量的定义之前, 先来看一个

简单的例子

若 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right)$, 则有

$$\mathbf{A}\alpha =\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\ -1\end{array}\right)=-\alpha$$ $$\mathbf{A}\beta =\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right)=\beta$$

$\mathbf{A}\gamma =\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)\ne k\gamma ,k\in \mathbb{R}$

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定义 1.1. 特征值 特征向量

设 $\mathbf{A}$ 是数域 $F$ 上的一个 $n$ 阶矩阵, $\lambda$ 是一个数. 如果存在非零列向量 $\alpha$ (即 $n\times 1$ 矩阵),使得

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

就称

• $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,
• $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量, 简称特征向量.

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在上面的例子中, -1 和 1 就是矩阵 $\mathbf{A}$ 的两个特征值, $\alpha$ 和 $\beta$ 分别是属于它们的特征向量; $\gamma$ 则是一个不属于 $\mathbf{A}$ 的任意一个特征值的向量.

现设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$, $\alpha =\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\ne 0$, 且 $\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$, 即 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,

而 $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量,则 $\left(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\alpha =0$. 于是, $\alpha$ 是齐次线性方程组

$$\left(\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=0$$

的一个非零解. 故由齐次线性方程组解的理论知, 齐次方程组的系数行列式等于零. 于是有

$$\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|=0$$

即

$$\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=0.$$

定义 1.2. 特征多项式 特征矩阵

设 $A={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵,我们称关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式 $f\left(\lambda \right)=\left|\lambda E-\mathbf{A}\right|$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式, 称 $\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征矩阵.

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由上面的讨论知,

• 若 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值, 则 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $f\left(\lambda \right)$ 的一个根.
• 反过来, 若 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $f\left(\lambda \right)=\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|$ 的一个根, 则 $\left|{\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=0$,
  • 于是以 ${\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A}$ 为系数矩阵的齐次线性方程组 $\left({\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 有非零解.
  • 这时, 若设 $\alpha ={\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)}^{\mathrm{T}}$ 为其一个非零解, 则非零向量 $\alpha$ 满足 $\mathbf{A}\alpha ={\lambda }_0\alpha$, 即 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值, $\alpha$ 为属于 ${\lambda }_0$ 的一个特征向量.

故得, ${\lambda }_0$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值当且仅当 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式的根.

若在复数域 $\mathbb{C}$ 中考虑问题,由

代数基本定理

每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域中有一根

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可知, 在计算根的重数的前提下, $\mathbf{A}$ 的特征值的总个数为 $n$.

这样, 我们就找到了

求矩阵特征值和特征向量的方法

1. 求出矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|$ ;
2. 求出特征多项式的所有根 (计重),即 $\mathbf{A}$ 的全部特征值;
3. 对于每一个特征值 ${\lambda }_i$,求出齐次线性方程组 $\left({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 的一个基础解系, 即得属于 ${\lambda }_i$ 的全部特征向量.

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• 例题 1.1
• 例题 1.2

下面讨论矩阵的特征值和特征向量的性质.

性质 1.1. 特征值为转置不变量

性质 1.2. 特征值 vs 迹 vs 行列式

例题 1.3

此例题不难推广到一般的情形:

若 $\lambda$ 是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值, $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量,则对于任意的正整数 $k$, ${\lambda }^k$ 是 ${\mathbf{A}}^k$ 的特征值, 且 $\alpha$ 也是 ${\mathbf{A}}^k$ 的属于特征值 ${\lambda }^k$ 的一个特征向量.

更进一步讲,设 $f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 为 $m$ 次多项式, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 的多项式为 $f\left(\mathbf{A}\right)=a_m{\mathbf{A}}^m+a_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{A}+a_0\mathbf{E}$. 因为

$$\begin{array}{rl}f\left(\mathbf{A}\right)\alpha & =a_m{\mathbf{A}}^m\alpha +a_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}\alpha +\cdots +a_1\mathbf{A}\alpha +a_0\mathbf{E}\alpha \\ & =a_m{\lambda }^m\alpha +a_{m-1}{\lambda }^{m-1}\alpha +\cdots +a_1\lambda \alpha +a_0\alpha \\ & =f\left(\lambda \right)\alpha \end{array}$$

所以, $f\left(\lambda \right)=a_m{\lambda }^m+a_{m-1}{\lambda }^{m-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$ 是 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 的一个特征值, 且 $\alpha$ 也是 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 的属于特征值 $f\left(\lambda \right)$ 的一个特征向量. 而且当 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵时,一定有 $\lambda \ne 0$,由 $A\alpha =\lambda \alpha$ 得 $A^{-1}A\alpha =A^{-1}\lambda \alpha$, 即 $\alpha =\lambda A^{-1}\alpha$,故有 $A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha$. 所以, $\frac{1}{\lambda }$ 是 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征值, 且 $\alpha$ 也是 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的属于特征值 $\frac{1}{\lambda }$ 的一个特征向量.

性质 1.3. 不同特征值的特征向量之间线性无关

特别地, 由性质 1.3 可得

性质 1.4

性质 1.4.

属于不同特征值的特征向量线性无关.

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