性质 3.3.

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基, $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$ 在这组基下的坐标分别为 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 和 $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$, 则

1. $\left(\alpha ,\beta \right)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$ ;
2. ${\left|\alpha \right|}^2=\left(\alpha ,\alpha \right)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$.