推论 5.6. 可逆矩阵保秩

推论 5.6. 可逆矩阵保秩

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵, 若 $\mathbf{P}$ 是 $m\times m$ 可逆矩阵, $\mathbf{Q}$ 为 $n\times n$ 可逆矩阵, 则

$$r\left(\mathbf{A}\right)=r\left(\mathbf{PA}\right)=r\left(\mathbf{AQ}\right).$$

\begin{proof} 设 $\mathbf{B}=\mathbf{PA}$, 由定理 5.4 知 $r\left(\mathbf{B}\right)\le r\left(\mathbf{A}\right)$. 由于 $\mathbf{P}$ 可逆, 由 $\mathbf{B}=\mathbf{PA}$ 得 $\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{B}$, 又由定理 5.4 有 $r\left(\mathbf{A}\right)\le r\left(\mathbf{B}\right)$. 所以, $r\left(\mathbf{A}\right)=r\left(\mathbf{B}\right)=r\left(\mathbf{PA}\right)$. 另一等式类似可证. \end{proof}