4.5.2. 矩阵秩的进一步讨论

学习了向量组秩的定义及性质以后, 我们可以进一步讨论矩阵的秩.

设

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} (5.1)

是数域 $F$ 上的一个 $m \times n$ 矩阵. $A$ 的每一行可看作 $F^{n}$ 的向量, 我们称之为行向量. 设

α_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{in}), i = 1, 2, \dots, m,

则

A = α_{1} α_{2} ⋮ α_{m}

这里 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 称为 $A$ 的行向量组. $A$ 也可以看作是由行向量组构成的分块矩阵. 同样, $A$ 的每一列可看作 $F^{m}$ 的向量,称之为列向量. 若令

β_{i} = a_{1 i} a_{2 i} ⋮ a_{mi}, i = 1, 2, \dots, n

则 $A$ 可以看作列向量的分块矩阵,即

A = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})

这里 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 称为 $A$ 的列向量组.

$A$ 有 $m$ 个行向量和 $n$ 个列向量. 矩阵 $A$ 的行向量组的秩称为矩阵 $A$ 的行秩, 列向量组的秩称为矩阵 $A$ 的列秩.

第三章定义过矩阵的秩:

如果 $A$ 有一个不为零的 $r$ 阶子式, 但没有不为零的 $r + 1$ 阶子式, 那么矩阵 $A$ 的秩为 $r$ .

于是,我们对同一个矩阵定义了三种 “秩”: 秩、行秩、列秩. 下面证明这三种秩相同. 定理 5.3. 行秩=列秩=秩

由此定理不难得到求一个向量组秩的方法: 将已知的向量组作为行 (列) 向量构成一个矩阵, 再用初等变换求解矩阵的秩, 即为向量组的秩.

Youliang Zhong