例题 3.1. 圆柱面

方程 $x^2+y^2=r^2\left(r>0\right)$ 表示一个什么样的曲面?

解

$x^2+y^2=r^2$ 在 $xOy$ 面上表示以原点 $O$ 为圆心, $r$ 为半径的圆.

在空间直角坐标系中,由于该方程不含坐标 $z$ , 所以无论空间点 $\left(x,y,z\right)$ 的坐标分量 $z$ 取什么值, 只要横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ 满足这个方程, 这样的点就在该方程所表示的曲面上.

又因为通过 $xOy$ 面内的圆 $x^2+y^2=r^2$ 上一点 $M_0\left(x,y,0\right)$ , 且平行于 $z$ 轴的直线 $L$ 上所有点的 $x$ 和 $y$ 坐标均相同,点 $M_0$ 在曲面上,所以直线 $L$ 也在曲面上.

圆柱面

因此,这个曲面可以看作是由直线 $L$ 沿 $xOy$ 面上的圆 $x^2+y^2=r^2$ 平行于 $z$ 轴移动所形成的柱面 (如图 6.2),该柱面称为圆柱面.

图 6.2