6.3.1 球面及其方程

定义 (球面)

空间中到定点的距离等于定长的点的集合称为球面.

• 定点称为球心,
• 定长称为半径.

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下面在空间直角坐标系中建立以点 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 为球心且半径为 $r$ 的球面方程.

设 $P\left(x,y,z\right)$ 为球面上的任意一点,点 $P$ 在球面上的充要条件为

$$\left|\overrightarrow{P_{0}P}\right|=r$$

把上面方程用点的坐标写出来, 就得到该球面的方程, 即

$${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=r^2.\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

把方程 (3.2) 展开可得

$$x^2+y^2+z^2-2x_{0}x-2y_{0}y-2z_{0}z+\left(x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2\right)=0.$$

由此可知, 球面方程是一个三元二次方程, 没有交叉项, 平方项的系数相同. 反之, 任一个三元二次方程

$$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

经过配方可以写成

$${\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(z+\frac{c}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{4}-d.$$

令 $t=\frac{a^2+b^2+c^2}{4}-d$ ,则

1. 当 $t>0$ 时, 方程 (3.3) 表示的图形是一个以点 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2}\right)$ 为球心, 以 $\sqrt{t}$ 为半径的球面.
2. 当 $t=0$ 时, 方程 (3.3) 表示的图形是一个点 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2}\right)$.
3. 当 $t<0$ 时,方程 (3.3) 不表示任何实空间中的图形,或者说它表示一个虚球面.