6.4.2 二次锥面

定义 (二次锥面)

设 $a>0,b>0,c>0$ , 由方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

表示的曲面称为二次锥面.

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与 yOz 面的交线

二次锥面 (4.2) 与 $yOz$ 面的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}& =0\\ x& =0\end{array}$$

即

$$\{\begin{array}{ll}\frac{y}{b}+\frac{z}{c}& =0\\ x& =0\end{array}$$

和

$$\{\begin{array}{ll}\frac{y}{b}-\frac{z}{c}& =0\\ x& =0\end{array}$$

它们为 $yOz$ 面上的一对直线.

同理,二次锥面 (4.2) 与 $xOz$ 面的交线也是一对直线.

与 xOy 平行面的交线

二次锥面 (4.2) 与平行于 $xOy$ 面的平面 $z=h$ 的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =\frac{h^2}{c^2},\\ z& =h.\end{array}$$

• 当 $h=0$ 时,交线是原点 $O$ .
• 当 $h\ne 0$ 时,交线是中心在 $z$ 轴上的椭圆,
• 当 $\left|h\right|$ 由小变大时, 椭圆截痕也由小变大.

综上所述

二次锥面 (4.2) 的形状如图 6.7 所示.

图 6.7