6.4.5 二次方程的化简

由前面的讨论可知, 如果知道二次曲面的标准方程, 就很容易画出其图形, 讨论其几何性质也就相对容易.

但是, 在很多实际问题的研究中, 由于很难建立理想的空间直角坐标系, 结果导致曲面方程不是标准方程. 下面我们利用化二次型为标准形的方法通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程, 以进一步判别曲面的类型.

设三元二次方程的一般形式为

$$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+c=0\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

令 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{3\times 3},\mathbf{u}={\left(x,y,z\right)}^{\mathrm{T}},\mathbf{b}={\left(b_1,b_2,b_3\right)}^{\mathrm{T}}$ ,则方程 (4.8) 可写为

$${\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Au}+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}+c=0.\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

因为 $\mathbf{A}$ 是实对称矩阵,所以存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使得

$${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AQ}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\right)$$

作正交变换 $\mathbf{u}=\mathbf{Qv}$ ,其中 $\mathbf{v}={\left(x_1,y_1,z_1\right)}^{\mathrm{T}}$ ,则 (4.9) 变为

$${\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\right)\mathbf{v}+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Qv}+c=0.\text{\hspace{1em}(4.10)}$$

令 ${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\left(d_1,d_2,d_3\right)$ ,则 (4.10) 变为

$${\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{y}_1^2+{\lambda }_3{z}_1^2+d_1{x}_1+d_2{y}_1+d_3{z}_1+c=0.\text{\hspace{1em}(4.11)}$$

通过配方,进一步作平移变换可将原方程化为标准方程. 这里, ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 为实对称矩阵 $A$ 的特征值.

例题 4.1. 二次曲面化标准方程