例题 1.1. 正交变换化二次型为标准形

试用正交变换将二次型

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=2x_1^2+x_2^2+4x_1{x}_2+4x_2{x}_3$$

化为标准形.

解

先写出二次型的矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2& 2& 0\\ 2& 1& 2\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$$

再求出对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值和单位正交的特征向量,从而求出正交矩阵 $\mathbf{C}$. 矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为

$$\left|\begin{array}{rrr}\lambda -2& -2& 0\\ -2& \lambda -1& -2\\ 0& -2& \lambda \end{array}\right|=\left(\lambda -1\right)\left(\lambda +2\right)\left(\lambda -4\right)$$

由此得特征值 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=4$.

将 ${\lambda }_1=1$ 代入齐次线性特征方程组 $\left({\lambda }_1\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=0$ 中,得

$$\{\begin{array}{ll}-x_1-2x_2& =0\\ -2x_1-2x_3& =0\\ -2x_2+x_3& =0\end{array}$$

由此求得单位特征向量 ${\eta }_1={\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{T}}$, 同样可求得单位特征向量 ${\eta }_2={\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{T}}$, ${\eta }_3={\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{T}}$. 由于它们是属于不同特征值的特征向量,故它们正交. 从而得到正交矩阵

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

最后,通过正交变换 $\mathbf{X}=\mathbf{CY}$, 原二次型

$$\begin{array}{rl}f& ={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}\\ & ={\mathbf{Y}}^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}\right)\mathbf{Y}\\ & =\left(y_1,y_2,y_3\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)\\ & =y_1^2-2y_2^2+4y_3^2\end{array}$$