6.1.2 化二次型为标准形

上一章我们曾证明,

若 $\mathbf{A}$ 为 $n\times n$ 实对称矩阵, 则有正交矩阵 $\mathbf{T}$, 使

$$T^{-1}AT=B$$

为实对角矩阵.

由于 $\mathbf{T}$ 为正交矩阵, 故 ${\mathbf{T}}^{-1}={\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}$. 因此, ${\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AT}={\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}=\mathbf{B}$, 故 $B$ 与 $A$ 不但相似, 而且合同. 把这个事实应用于二次型, 我们得到如下定理.

定理 1.2. (实二次型化为标准形)

设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$ 为实二次型, 则可作一个非退化的线性替换

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}$$

其中

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$$

为正交矩阵, 把 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 化成标准形 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$这里 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 都是 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值.

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由定理1.2 可知, 对于实数域的情形, 我们不但可通过非退化线性替换把二次型化成标准形, 而且可以通过正交变换 (即 $\mathbf{X}=\mathbf{TY},\mathbf{T}$ 为正交矩阵时的线性替换称为正交变换) 把它化成标准形. 后边的这个结论在几何学和力学中相当有用.

例题 1.1. 正交变换化二次型为标准形

把二次型化为标准形的第二种方法是配方法, 这是中学学过的方法. 例题 1.2. 配方法化二次型为标准形

上面的配方法有一般性, 我们有定理 (证明不作要求, 从略) 如下所述.

定理 1.3. 二次型总能化为标准形

数域 $F$ 上的任意一个二次型都可以经非退化线性替换化成标准形.

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根据这个定理, 任意二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 都可作一个非退化线性替换使之成为标准形, 即

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$$

标准形的矩阵为对角矩阵

$$\left(\begin{array}{llll}{d}_1& & & \\ & d_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n\end{array}\right),$$

所以, 定理 1.3 也可表述成定理 1.4.

定理 1.4. (对称矩阵合同于对角矩阵)

数域 $F$ 上的任意对称矩阵都合同于一个对角矩阵.

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例题 1.3. 二次型化成标准形

设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 化成标准形后成为

$$g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2.$$

必要时可把 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 重新编号, 故不妨设上式中前 $r$ 个 $d_i$ 不为 0, 而 $d_{r+1}=$ $d_{r+2}=\cdots =d_n=0$. 这说明矩阵

$$B=\left(\begin{array}{llllll}{d}_1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & d_r& & & \\ & & & 0& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0\end{array}\right)$$

的秩为 $r$. 由于 $\mathbf{B}$ 作为 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ 的矩阵与原二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 合同, 所以

$$r\left(\mathbf{B}\right)=r\left({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}\right)=r\left(\mathbf{A}\right)$$

即 $\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{A}$ 有相同的秩. 这样可得定理 1.5.

定理 1.5. (平方项个数 = 秩)

设二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩为 $r$, 则化成标准形后, 正好有 $r$ 个平方项不为零.

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今后把二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩也称为该二次型的秩.