例题 2.3.

试判断二次型

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=3x_1^2+2x_2^2+4x_3^2-2x_1{x}_2+4x_1{x}_3-4x_2{x}_3$$

是不是正定二次型

解

此二次型的矩阵是

$$\left(\begin{array}{rrr}3& -1& 2\\ -1& 2& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right)$$

因为它的顺序主子式

$$3>0,\left|\begin{array}{rr}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right|=5>0,\left|\begin{array}{rrr}3& -1& 2\\ -1& 2& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right|=8>0$$

所以 $f$ 是正定二次型.