6.2 正定二次型

本节继续讨论实二次型.

定义 2.1. (半)正定二次型

给定一个实二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$. 若对于任意 $n$ 个不全为零的实数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$, 总有 $f\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)>0$, 则称 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为正定二次型. 若对于任意 $n$ 个实数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$, 总有 $f\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)\ge 0$, 则称 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为半正定二次型.

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由定义可知, 正定二次型一定是半正定二次型, 而半正定二次型不一定是正定二次型.

例题 2.1. 正定二次型

二次型

$$f_1\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$$ $$f_2\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=x_1^2+{\left(x_1+x_2\right)}^2+\cdots +{\left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right)}^2$$

都是正定二次型.

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例题 2.2. 半正定而非正定

二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots +x_{n-1}^2$ 是半正定的, 但不是正定二次型. 实际上, 令 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1},x_n\right)=\left(0,0,\cdots ,0,1\right)\ne 0$, 则 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的值为零.

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正定二次型的性质

现在来讨论正定二次型的性质. 设

$$f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

为正定二次型, 其矩阵为 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$. 设

$$X=CY$$

为非退化线性替换, 其中

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$$

设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 经此线性替换后化为二次型 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$. 于是, 对于任意 $n$ 个实数 ${\tilde{y}}_1,{\tilde{y}}_2,\cdots ,{\tilde{y}}_n$, 则由

$$\{\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1=c_{11}{\tilde{y}}_1+c_{12}{\tilde{y}}_2+\cdots +c_{1n}{\tilde{y}}_n,\\ {\tilde{x}}_2=c_{21}{\tilde{y}}_1+c_{22}{\tilde{y}}_2+\cdots +c_{2n}{\tilde{y}}_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\tilde{x}}_n=c_{n1}{\tilde{y}}_1+c_{n2}{\tilde{y}}_2+\cdots +c_{nn}{\tilde{y}}_n\end{array}$$

得到 $n$ 个数 ${\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\cdots ,{\tilde{x}}_n$, 且必有 $g\left({\tilde{y}}_1,{\tilde{y}}_2,\cdots ,{\tilde{y}}_n\right)=f\left({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\cdots ,{\tilde{x}}_n\right)$. 注意,由于 $C$ 为可逆矩阵, 若 ${\tilde{y}}_1,{\tilde{y}}_2,\cdots ,{\tilde{y}}_n$ 不全为零, 则 ${\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\cdots ,{\tilde{x}}_n$ 也不全为零, 此时因为已假设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为正定二次型, 故 $f\left({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\cdots ,{\tilde{x}}_n\right)>0$. 进而有 $g\left({\tilde{y}}_1,{\tilde{y}}_2,\cdots ,{\tilde{y}}_n\right)>0$. 这说明 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ 也是正定二次型. 于是我们得到性质 2.1.

性质 2.1 非退化线性替换保正定

非退化线性替换将正定实二次型仍变为正定实二次型.

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正定二次型的判定

关于正定二次型的判定, 有如下的等价条件:

定理 2.1. (正定二次型的等价条件)

定义 (正定矩阵)

如果一个 $n\times n$ 实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 所对应的二次型为正定二次型, 那么 $\mathbf{A}$ 称为正定矩阵.

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性质 2.2. (实正定矩阵的行列式为正)

由性质 2.2 知, 实二次型的矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式大于 0 只是二次型正定的必要条件, 不能用它来判定二次型是否正定.

Question

那么, 实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 要满足什么条件, 才能保证它对应的二次型是正定的呢?

为此, 我们先引入顺序主子式的概念.

定义 2.2. 顺序主子式

$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{nn}$ 的 $k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ 阶子式

$$P_k=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2k}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|$$

称为 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶顺序主子式.

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有了这个概念, 我们不加证明地给出下列定理.

定理 2.2. (实对称时, 正定 vs 顺序主子式)

实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它的各阶顺序主子式全大于零.

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例题 2.3.

定义 2.3. (半)负定二次型

设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 是一个实二次型,

• 若对于任意不全为零的实数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$, 均有 $f\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)<0,$ 则称 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为负定的.
• 如果对于任意 $n$ 个实数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$, 总有 $f\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)\le 0,$ 则称 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为半负定的.

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显然 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为负定的当且仅当 $-f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为正定的. 所以, 负定二次型的问题可借助正定二次型的理论解决.