例题 3.5. 投影曲线

求曲线 $C$

$$\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x^2+y^2}\\ x^2+y^2+z^2=2\end{array}$$

在 $xOy$ 面上投影曲线的方程.

解

消去变量 $z$ 得

$$x^2+y^2=1$$

这是曲线 $C$ 关于 $xOy$ 面的投影柱面方程,所以曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线方程为

$$\{\begin{array}{ll}{x}^2+y^2& =1\\ z& =0\end{array}$$

它是 $xOy$ 面上以原点为圆心且半径为 1 的圆.