6.3.4 空间曲线及其方程

正如空间直线可以看作两个平面的交线一样, 一条空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设两个曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的方程分别为

$$F\left(x,y,z\right)=0,G\left(x,y,z\right)=0,$$

则曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的交线 $C$ 上点的坐标同时满足上述两个方程. 反之,同时满足上述两个方程的点必定在 $S_1$ 和 $S_2$ 的交线上.

定义 (空间曲线的一般式方程)

曲线 $C$ 的方程就是将这两个方程联立所形成的方程组

$$\{\begin{array}{l}F\left(x,y,z\right)=0\\ G\left(x,y,z\right)=0\end{array}$$

称之为空间曲线的一般式方程.

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Example

例如,在空间直角坐标系中, $x^2+y^2=1$ 表示一个母线平行于 $z$ 轴的柱面. $xOy$ 面上以原点为圆心,半径为 1 的圆在空间直角坐标系中的方程可表示为

$$\{\begin{array}{ll}{x}^2+y^2& =1\\ z& =0\end{array}$$

这里是把它看成柱面 $x^2+y^2=1$ 与 $xOy$ 面的交线. 当然,它也可以看成球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与 $xOy$ 面的交线,即

$$\{\begin{array}{ll}{x}^2+y^2+z^2& =1\\ z& =0\end{array}$$

由此可见, 空间曲线的方程在形式上不唯一.

定义 (空间曲线的参数方程)

空间曲线还可以看成动点运动的轨迹,方程可以用动点关于时间 $t$ 的运动方程的坐标形式表示, 即

$$\{\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ y=y\left(t\right)\\ z=z\left(t\right)\end{array}$$

上面的方程称为空间曲线的参数方程.

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最后, 简单介绍空间曲线关于坐标面的投影柱面和投影曲线及其方程.

定义 (投影柱面 投影曲线)

设有空间曲线 $C$, 过曲线 $C$ 上的每一点作 $xOy$ 面的垂线, 这些垂线形成一个母线平行于 $z$ 轴且过 $C$ 的柱面, 称之为曲线 $C$ 关于 $xOy$ 面的投影柱面. 这个柱面与 $xOy$ 面的交线称为曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线, 简称投影.

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事实上,投影曲线确实是曲线 $C$ 上各点在 $xOy$ 面上的垂直投影所形成的曲线.

设曲线 $C$ 的方程为

$$\{\begin{array}{l}F\left(x,y,z\right)=0\\ G\left(x,y,z\right)=0\end{array}$$

由此方程组消去 $z$ 得到方程 $H\left(x,y\right)=0$, 由于方程 $H\left(x,y\right)=0$ 不含 $z$ 坐标, 所以它是一个母线平行于 $z$ 轴的柱面. 显然, $C$ 上的点都在此柱面上, 因此方程 $H\left(x,y\right)=0$ 就是曲线 $C$ 关于 $xOy$ 面上投影柱面的方程. 它与 $xOy$ 面的交线就是 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线方程, 即

$$\{\begin{array}{ll}H\left(x,y\right)& =0,\\ z& =0.\end{array}$$

同理,可得到曲线 $C$ 在其他坐标平面上的投影曲线方程.

例题 3.5. 投影曲线