双叶双曲面

定义 (双叶双曲面)

设 $a>0,b>0,c>0$ ,由方程

$$-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

所表示的曲面称为双叶双曲面.

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与 yOz 面的交线

双叶双曲面 (4.4) 与 $yOz$ 面的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}& =1\\ x& =0\end{array}$$

它是 $yOz$ 面上的双曲线,虚轴在 $z$ 轴上. 类似可知双叶双曲面 (4.4) 与 $xOy$ 面的交线为双曲线,虚轴在 $x$ 轴上.

与 xOz 平行面的交线

双叶双曲面 (4.4) 与平行于 $xOz$ 面的平面 $y=h$ (其中 $\left|h\right|\ge b$ ) 的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}& =\frac{h^2}{b^2}-1\\ y& =h\end{array}$$

它是中心在 $y$ 轴上的椭圆. 当 $\left|h\right|=b$ 时, 截痕缩为一点. 当 $\frac{|h|}{b}$ 越来越大时,椭圆截痕也越来越大.

综上所述

双叶双曲面 (4.4) 的形状如图 6.9 所示.

图 6.9