定义 1.1. (二次型)

含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 且系数属于数域 $F$ 的二次齐次多项式

$$\begin{array}{rl}f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)& =a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+\cdots +2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ & +a_{22}{x}_2^2+\cdots +2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ & +\cdots \\ & +a_{nn}{x}_n^2\end{array}$$

称为关于数域 $F$ 的一个 $n$ 元二次型,简称二次型.

• $F=\mathbb{R}$ 时的二次型称为实二次型,
• $F=\mathbb{C}$ 时的二次型称为复二次型.