6.1.1 二次型及其矩阵

定义 1.1. (二次型)

含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 且系数属于数域 $F$ 的二次齐次多项式

$$\begin{array}{rl}f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)& =a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+\cdots +2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ & +a_{22}{x}_2^2+\cdots +2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ & +\cdots \\ & +a_{nn}{x}_n^2\end{array}$$

称为关于数域 $F$ 的一个 $n$ 元二次型,简称二次型.

• $F=\mathbb{R}$ 时的二次型称为实二次型,
• $F=\mathbb{C}$ 时的二次型称为复二次型.

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Remark

这里非平方项的系数采用 $2a_{ij}$ 主要是为了便于用矩阵表示二次型. 例如

$$f\left(x_1,x_2\right)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2$$ $$g\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n$$ $$h\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$$

都是实 (复) 二次型.

下面我们给出二次型的另一种表达方式: 二次型的矩阵表达

于是,上边的三个二次型就可以分别写成

$$f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1,x_2\right)\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right),$$ $$g\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\left(\begin{array}{ccccccc}0& \frac{1}{2}& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),$$ $$h\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).$$

二次型的基本问题

二次型的基本问题是二次型的化简.

定义 1.2. (线性替换)

所谓数域 $F$ 上由变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 到变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 的线性替换是指形如

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n,\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}$$

的一组表达式, 其中所有的 $c_{ij}$ 都在 $F$ 内.

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定义 (非退化的线性替换)

若系数矩阵

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$$

可逆, 则上述的线性替换称为 非退化的线性替换 或 可逆的线性替换.

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显然, 若上面的线性替换是非退化的,则 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 也可以写成 $x_1,x_2,\cdots$, $x_n$ 的线性表达式. 令

$$\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

则上边的线性替换可写成

$$X=CY$$

于是

$$Y=C^{-1}X$$

也是一个线性替换. 这样, 如果二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 经非退化的线性替换 $\mathbf{X}=\mathbf{CY}$ 化成 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$, 那么 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ 也可经线性替换 $\mathbf{Y}={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{X}$ 化成 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$.

一般认为, 只有平方项的二次型最简单. 所以二次型的基本问题是

研究如何用非退化线性替换把二次型化成只有平方项的问题, 简称为二次型化平方和问题. 这种只含平方项的二次型, 称为二次型的标准形.

设给定的二次型为

$$f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}.$$

作一个非退化的线性替换

$$X=CY$$

就有

$$\begin{array}{rl}& f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\\ & ={\left(\mathbf{CY}\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\left(\mathbf{CY}\right)\\ & ={\mathbf{Y}}^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}\right)\mathbf{Y}\\ & =g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)\end{array}$$

此时,若用 $\mathbf{B}$ 表示二次型 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ 的矩阵, 则由

$${\left({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}$$

可知 ${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}$ 对称, 从而有

$$B=C^{\mathrm{T}}AC$$

其中 $C$ 为可逆矩阵.

定义 1.3. (合同等价)

设 $A,B$ 为两个 $n\times n$ 矩阵,若有可逆矩阵 $C$ ,使

$$B=C^{\mathrm{T}}AC$$

则称 $A$ 合同于 $B$.

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于是, 我们得到了矩阵间的又一个关系: 合同. 与矩阵的等价关系一样, 合同关系也满足下列三条性质:

1. 反身性: $\mathbf{A}$ 合同于 $\mathbf{A}$. 这是因为 $\mathbf{A}={\mathbf{E}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AE}$.
2. 对称性: 若 $A$ 合同于 $B$,则 $B$ 合同于 $A$. 这是因为若 $B=C^{\mathrm{T}}AC$,且 $\mathbf{C}$ 可逆,有 $\mathbf{A}={\left({\mathbf{C}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{-1}$.
3. 传递性: 若 $\mathbf{A}$ 合同于 $\mathbf{B},\mathbf{B}$ 合同于 $\mathbf{C}$,则 $\mathbf{A}$ 合同于 $\mathbf{C}$. 因为若有 $\mathbf{B}=$ $C_1^{\mathrm{T}}A{C}_1,C=C_2^{\mathrm{T}}B{C}_2,C_1,C_2$ 可逆,则 $C_1{C}_2$ 可逆且有 $C={\left(C_1{C}_2\right)}^{\mathrm{T}}A\left(C_1{C}_2\right)$.

总结上述讨论, 得到下列定理.

定理 1.1. 非退化线性替换保持合同等价

经过非退化的线性替换之后, 原二次型的矩阵合同于新二次型的矩阵.

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因此,对于矩阵而言, 二次型化平方和的问题即为

求一对角矩阵 $B$, 使 $A,B$ 合同.