椭圆抛物面

定义 (椭圆抛物面)

设 $a>0,b>0$, 由方程

$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

或方程

$$-z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

所表示的曲面称为椭圆抛物面.

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下面以前者为例用截痕法来研究其形状.

与 yOz 面的交线

椭圆抛物面 (4.5) 与 $yOz$ 面的交线为

$$\{\begin{array}{l}z=\frac{y^2}{b^2}\\ x=0\end{array}$$

它是 $yOz$ 面上开口向上的抛物线. 类似可知椭圆抛物面 (4.5) 与 $xOz$ 面的交线也是开口向上的抛物线.

与 xOy 平行面的交线

因为椭圆抛物面 (4.5) 中的 $z\ge 0$ ,所以它的图形在 $xOy$ 面的上方.

椭圆抛物面 (4.5) 与平行于 $xOy$ 面的平面 $z=h$ (其中 $h\ge 0$ ) 的交线为

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =h\\ z& =h\end{array}$$

• 当 $h=0$ 时, 截痕缩为原点 $O$ ;
• 当 $h>0$ 时, 截痕是中心在 $z$ 轴上的椭圆.
• 当 $h$ 由 0 变大时,椭圆截痕也越来越大.

综上所述

椭圆抛物面 (4.5) 的形状如图 6.10 所示.

图 6.10