例题 3.5. (微商变换的矩阵表示)

在实线性空间 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 中,取基 $1,x,x^2,\cdots ,x^{n-1}$,求微商变换 $\mathcal{D}$ 在这组基下的矩阵.

解

我们有

$$\mathcal{D}\left(1\right)=0=0\cdot 1+0x+0x^2+\cdots +0x^{n-1},$$ $$\mathcal{D}\left(x\right)=1=1\cdot 1+0x+0x^2+\cdots +0x^{n-1},$$ $$\mathcal{D}\left(x^2\right)=2x=0\cdot 1+2x+0x^2+\cdots +0x^{n-1},$$

$\dots$

$$\mathcal{D}\left(x^{n-1}\right)=\left(n-1\right)x^{n-2}=0\cdot 1+0x+\cdots +\left(n-1\right)x^{n-2}+0x^{n-1}.$$

所以, $\mathcal{D}$ 在这组基下的矩阵是

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ & 0& 2& & \\ & & 0& \ddots & \\ & & & \ddots & n-1\\ & & & & 0\end{array}\right).$$