3. 线性变换的矩阵

定义 3.2. (线性变换的矩阵表示)

设 $V$ 为 $F$ 上的 $n$ 维线性空间, $\sigma$ 为 $V$ 的线性变换. 设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 为 $V$ 中的一组基,则基向量在 $\sigma$ 下的像可以被基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 线性表出, 如果设

$$\{\begin{array}{c}\sigma \left({\epsilon }_1\right)=a_{11}{\epsilon }_1+a_{21}{\epsilon }_2+\cdots +a_{n1}{\epsilon }_n,\\ \sigma \left({\epsilon }_2\right)=a_{12}{\epsilon }_1+a_{22}{\epsilon }_2+\cdots +a_{n2}{\epsilon }_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \sigma \left({\epsilon }_n\right)=a_{1n}{\epsilon }_1+a_{2n}{\epsilon }_2+\cdots +a_{nn}{\epsilon }_n,\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

则 $n$ 阶方阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

称为线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵. 其中 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 列就是基向量 ${\epsilon }_j$ 的像 $\sigma \left({\epsilon }_j\right)$ 在这组基下的坐标.

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记 $\sigma \left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)=\left(\sigma \left({\epsilon }_1\right),\sigma \left({\epsilon }_2\right),\cdots ,\sigma \left({\epsilon }_n\right)\right)$,则上式可用矩阵表示为

$$\sigma \left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)=\left(\sigma \left({\epsilon }_1\right),\sigma \left({\epsilon }_2\right),\cdots ,\sigma \left({\epsilon }_n\right)\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)A.$$

这样,取定 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基之后, 对于 $V$ 的每一个线性变换, $F$ 上有唯一确定的 $n\times n$ 矩阵和它对应. 反过来,任给一个数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵, 按照 (3.1) 式可以唯一地定义一个线性变换 $\sigma$ (其证明我们不作要求). 这表明, $V$ 的线性变换与 $n$ 阶方阵之间一一对应. 当然这种对应关系以给定 $V$ 的一组基为前提条件, 若基改变, 线性变换对应的矩阵一般也要改变, 这一点后面还会谈到.

由定义知,把一切向量都映射成零向量的线性变换 $\mathcal{O}$ 在任意基下的矩阵为 $n$ 阶零矩阵 0,而恒等变换 $\mathcal{E}$ 在任意基下的矩阵是单位矩阵 ${\mathbf{E}}_n$.

例题 3.4. (投影变换的矩阵表示)

例题 3.5. (微商变换的矩阵表示)

定理 3.1. (线性变换的像的坐标)

例题 3.6. (微分变换的像)

下面的定理给出了同一个线性变换在不同基下的矩阵间的联系.

定理 3.2. (线性变换在不同基下的表示矩阵相似)

定理表明, $n$ 维线性空间的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.

例题 3.7. (线性变换在不同基下的表示)