定理 1.1. (线性子空间的充要条件)

设 $V$ 为数域 $F$ 上的线性空间, $W$ 为 $V$ 的非空子集合. $W$ 是 $V$ 的子空间的充要条件是: $W$ 对 $V$ 中的加法和数乘封闭, 即对于任意 $\alpha ,\beta \in W$, $k\in F$,必有 $\alpha +\beta \in W,k\alpha \in W$.

证明

由上面的分析知, 条件是必要的.

今设 $W$ 对加法和数乘封闭. 此时 $V$ 的加法和数乘就是 $W$ 的运算. 因为 $W$ 非空,设 $\alpha \in W$,于是 $0=0\alpha \in W$. 当 $\beta$ 为 $W$ 中任意向量时,由数乘的封闭性知, $-\beta =\left(-1\right)\beta \in W$,故在 $W$ 中定义 1.1 的 (3),(4) 成立. 由上面的分析知, $\left(1\right),\left(2\right),\left(5\right)-\left(8\right)$ 在 $W$ 中自然成立,故 $W$ 为 $V$ 的子空间.