本节总假设 是数域 上的线性空间.
定义 1.2. (线性子空间)
设 为 的一个非空子集合,若 关于 的加法和数乘也成为线性空间,则称 为 的一个线性子空间.
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设在 中已给了一个非空子集合 , 要满足什么条件才成为 的子空间呢? 首先, 作为 的子集, 中的运算对 中的元素来说, 线性空间的定义 1.1 中的 显然满足. 因此,只要 关于 的两种运算封闭且满足 (3) 和 (4),则 就可构成一个线性空间. 这里,“ 关于 的两种运算封闭” 是指:
若 ,则 ; 若 ,则 .
但是, 若 关于 的两种运算封闭, 则对 , 分别取 , 就有 , , 即定义 1.1 中的 (3) 和 (4) 自然也满足.
由此引入定理 1.1.