例题 1.1 (实值函数构成向量空间)

用 $F\left[0,1\right]$ 表示闭区间 $\left[0,1\right]$ 上的全体实函数构成的集合. 若 $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)\in F\left[0,1\right]$,把函数 $h\left(x\right)$ 称为 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的和,即

$$h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$$

若 $c$ 是实数, 规定 $\ell \left(x\right)=cf\left(x\right)$ 为 $c$ 与 $f\left(x\right)$ 的数乘. 那么上述 8 条基本运算规律也成立.