1. 线性空间的定义

线性空间的定义和基本性质比较抽象, 初学者可能会不同程度地感到困难, 建议读者积极思考, 反复地考察各种例子, 并把抽象的理论和具体的例子相对照, 克服这些困难.

线性空间总定义在一个数域上. 第二章已给出了数域的定义, 这里总是假设 $F$ 是一个数域.

第四章已经定义了数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间 $F^n$. 我们先回顾一下这个概念.

设 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in F^n$, $\beta =\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)\in F^n$. 定义加法:

$$\alpha +\beta =\left(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n\right).$$

显然, $\alpha +\beta \in F^n$.

对于任意 $k\in F$,定义数乘:

$$k\alpha =\left(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n\right)$$

显然, $k\alpha \in F^n$.

因此, $F^n$ 对向量的加法和数乘运算是封闭的, 并且满足以下 8 条基本运算规律:

1. $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ ;
2. $\left(\alpha +\beta \right)+\gamma =\alpha +\left(\beta +\gamma \right)$ ;
3. $\alpha +0=\alpha$ ;
4. $\alpha +\left(-\alpha \right)=0$ ;
5. $1\alpha =\alpha$ ;
6. $k\left(\ell \alpha \right)=\left(k\ell \right)\alpha$,
7. $k\left(\alpha +\beta \right)=k\alpha +k\beta$ ;
8. $\left(k+\ell \right)\alpha =k\alpha +\ell \alpha$

这里 $\alpha ,\beta ,\gamma \in F^n$, $k,\ell \in F$.

第三章讨论过平面上的向量和空间中的向量. 对于空间中以一个固定点 $O$ 为起点的全体向量, 我们有向量的加法 (平行四边形法则) 和数乘, 这两种运算也满足上述 8 条规律. 只是在那里参与数乘运算的数 $k$ 是实数. 若在平面上或空间内以固定点 $O$ 为原点建立直角坐标系, 则每个从原点出发的向量就可以用它的终点坐标 $\left(a_1,a_2\right)$ 或 $\left(a_1,a_2,a_3\right)$ 来表示, 其中 $a_i$ 也均为实数. 此时向量 $\left(a_1,a_2\right)$ 与 $\left(b_1,b_2\right)$ 之和正好是 $\left(a_1+b_1,a_2+b_2\right),\left(a_1,a_2,a_3\right)$ 与 $\left(b_1,b_2,b_3\right)$ 之和正好是 $\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)$, 而实数 $k$ 与向量的数乘为 $\left(k{a}_1,k{a}_2\right)$ 或 $\left(k{a}_1,k{a}_2,k{a}_3\right)$. 这样一来, 可将平面上 (从原点出发的) 全体向量组成的集合看成实数域 $\mathbb{R}$ 上的二维向量空间 ${\mathbb{R}}^2$, 将空间中的全体向量组成的集合看成三维向量空间 ${\mathbb{R}}^3$. 于是我们前面定义过的 $F$ 上的向量空间 $F^n$ 只不过是 ${\mathbb{R}}^2,{\mathbb{R}}^3$ 的推广而已: 分量个数从 2,3 推广到 $n$, 数域从 $\mathbb{R}$ 推广到一般的 $F$. 这也就说明了我们把 $F^n$ 中的元素称为向量的原因.

除去 $F^n$ 及平面上和空间中的向量以外, 在其他的一些集合上也可以定义加法和数乘.

例题 1.1 (实值函数构成向量空间)

用 $F\left[0,1\right]$ 表示闭区间 $\left[0,1\right]$ 上的全体实函数构成的集合. 若 $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)\in F\left[0,1\right]$,把函数 $h\left(x\right)$ 称为 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的和,即

$$h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$$

若 $c$ 是实数, 规定 $\ell \left(x\right)=cf\left(x\right)$ 为 $c$ 与 $f\left(x\right)$ 的数乘. 那么上述 8 条基本运算规律也成立.

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例题 1.2 (无穷维向量空间)

用 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 表示无限实数序列 $\left(a_n\right)=\left(a_1,a_2,\cdots \right)$ 的全体. 规定加法

$$\left(a_n\right)+\left(b_n\right)=\left(a_n+b_n\right)$$

和数乘

$$k\left(a_n\right)=\left(k{a}_n\right).$$

那么 8 条基本运算规律也成立.

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我们把 $F^n$, 例题 1.1 中的 $F\left[0,1\right]$ 和例题 1.2 中的 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 等抽象成如下的概念.

定义 1.1. (线性空间)

设 $F$ 为一个数域, $V$ 为一个非空集合. 设在 $V$ 中定义了加法和数乘两种运算

• 对 $V$ 中任意的排好次序的两个元素 $\alpha ,\beta$,有 $V$ 中唯一的一个元素 $\gamma$ 与之对应, $\gamma$ 称为 $\alpha ,\beta$ 之和,记为 $\gamma =\alpha +\beta$ ;
• 同时对数域 $F$ 中任意数 $k$ 与 $V$ 中任意元素 $\alpha$,有 $V$ 中唯一的元素 $\delta$ 与之对应, $\delta$ 称为 $k$ 与 $\alpha$ 的数乘,记为 $\delta =k\alpha$ 并且满足以下八个条件:

1. 加法交换律: 对一切 $\alpha ,\beta \in V,\alpha +\beta =\beta +\alpha$ ;
2. 加法结合律: 对一切 $\alpha ,\beta ,\gamma \in V,\left(\alpha +\beta \right)+\gamma =\alpha +\left(\beta +\gamma \right)$ ;
3. 在 $V$ 中有一个向量 0,它对每个 $\alpha \in V$ 均有 $\alpha +0=\alpha$ ;
4. 若 $\alpha \in V$,则存在 $\beta \in V$,使 $\alpha +\beta =0$ ;
5. 数域 $F$ 中元素 1 与每个 $\alpha \in V$ 的数乘都是 $\alpha$ 本身: $1\alpha =\alpha$ ;
6. 若 $k,\ell \in F$,而 $\alpha \in V$,则 $k\left(\ell \alpha \right)=\left(k\ell \right)\alpha$ ;
7. 若 $k,\ell \in F$,而 $\alpha \in V$,则 $\left(k+\ell \right)\alpha =k\alpha +\ell \alpha$ ;
8. 若 $k\in F$,而 $\alpha ,\beta \in V$,则 $k\left(\alpha +\beta \right)=k\alpha +k\beta$,

则 $V$ 称为 $F$ 上的线性空间, $V$ 中元素称为向量, (3) 中的 0 称为零向量, 而 (4) 中的 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负向量.

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今后总用大写拉丁文字母如 $U,V,\cdots$ 表示线性空间, 用小写希腊字母如 $\alpha$, $\beta ,\cdots$ 表示向量.

这个定义高度抽象,定义未具体规定 $V$ 由何种元素组成,也未规定 $V$ 中的两种运算如何进行, 定义要求的只是运算满足规律 (1)-(8). 这种抽象性使我们可以把不同的数学对象统一到线性空间这一概念之下. 读者不难验证, 按上边的定义,向量空间 $F^n$ 、例题 1.1 中的 $F\left[0,1\right]$ 、例题 1.2 中的 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 都是线性空间. 由定义可知,线性空间的概念涉及四个要素:

• 数域 $F$
• 非空集合 $V$
• 加法
• 数乘

所以如果要具体给出一个线性空间,必须指明数域 $F$,指明 $V$ 由何种数学对象组成, 并说明两种运算如何施行. 当然只有 (1)-(8) 都成立时才能称它是一个线性空间.

下面举例说明.

例题 1.3 (实矩阵)

全体 $m\times n$ 的实矩阵,关于矩阵的加法和数乘两种运算构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间,记为 $M_{mn}\left(\mathbb{R}\right)$.

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例题 1.4 (实多项式)

用 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 表示 $x$ 的以 $\mathbb{R}$ 中元素为系数的次数小于 $n$ 的多项式以及零多项式组成的集合. 在 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 中把多项式的加法作为我们的加法. 设

$$f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1},$$

而 $k\in \mathbb{R}$,则数乘规定为

$$kf\left(x\right)=k{a}_0+k{a}_{1}x+\cdots +k{a}_{n-1}{x}^{n-1}.$$

容易验证 (1)-(8) 成立,所以 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 在上述运算下是一个线性空间.

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例题 1.5. (复数)

把全体复数 $\mathbb{C}$ 看成向量集合,向量加法规定为复数加法. 取 $F=$ $\mathbb{R}$. 若 $k\in \mathbb{R},\alpha \in \mathbb{C}$, 规定 $k\alpha$ 即通常复数乘法的积, 那么 $\mathbb{C}$ 就成为实数域上的线性空间. 类似地, 复数域也可以看成自身上的线性空间.

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例题 1.6. (正实数)

令 $\mathbb{R}$ 表示实数域, 令 $V={\mathbb{R}}^{+}$, 即 $V$ 是由全体正实数组成的集合. 在 $V$ 中规定加法 $\oplus$ 和数乘 $\odot$ 为

$$x\oplus y=xy,x,y\in V$$ $$k\odot x=x^k,k\in \mathbb{R},x\in V.$$

即 $x,y$ 在运算 $\oplus$ 下的 “和” 为 $x,y$ 在通常实数乘法下的积 (例如 $3\oplus 5=15$ ), 而 $k\in \mathbb{R}$ 与 $x\in V$ 经数乘 $\odot$ 的结果是 $x$ 的 $k$ 次方 (如 $3\odot 5=125$ ). 由实数乘法的交换律和结合律知 $\left(1\right),\left(2\right)$ 成立. 实数 1 对任何 $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ 都满足 $1\oplus x=x$, 故 1 可充当 (3) 中的零向量. 同样 $x^{-1}$ 可充当 $x$ 的负向量. 由指数函数的性质可推出 (5)-(8) 成立. 故 $V$ 在运算 $\oplus ,\odot$ 下成为实数域上的线性空间.

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