例题 1.11. (生成子空间)

设 $V$ 为数域 $F$ 上的线性空间, ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in V$,它们所有可能的线性组合的全体集合

$$W=\left\{\beta \mid \beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,k_1,k_2\in F\right\}$$

关于 $V$ 的加法和数乘运算构成 $V$ 的线性子空间.

事实上, $W$ 非空,且对两种运算封闭,即若 ${\beta }_1=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,{\beta }_2={\ell }_1{\alpha }_1+$ ${\ell }_2{\alpha }_2$,则

$${\beta }_1+{\beta }_2=\left(k_1+{\ell }_1\right){\alpha }_1+\left(k_2+{\ell }_2\right){\alpha }_2\in W$$ $$k{\beta }_1=k{k}_1{\alpha }_1+k{k}_2{\alpha }_2\in W.$$

因此, $W$ 是 $V$ 的子空间,称为由元素 (向量) ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 生成的子空间,记为 $W=$ $L\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$,而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 称为 $W$ 的生成元.

一般而言,由 $V$ 的向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 所生成的子空间为

$$L\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s\right)=\left\{\beta \mid \beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s,k_1,k_2,\cdots ,k_s\in F\right\}.$$

由子空间的定义知若 $V$ 的一个子空间 $U$ 包含 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$,则 $U$ 一定包含 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 的一切线性组合,从而它必包含 $L\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s\right)$ 作为子空间.